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羅必達法則之幾何解釋

*** 本文簡體版已發表於超理論壇: 洛必达法则的几何解释 - 超理论坛

所謂「羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)」,就是 L'Hôpital 從 Johann Bernoulli 那裡買來的那個定理,講了這麽一件事情:

定理 1 如果 \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} 是未定式, \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在或發散到無窮,則 \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}
定理 1' 如果 \displaystyle{\lim_{x \to \pm\infty}} \frac{f(x)}{g(x)} 是未定式, \displaystyle{\lim_{x \to \pm\infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在或發散到無窮,則 \displaystyle{\lim_{x \to \pm\infty}} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle{\lim_{x \to \pm\infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)}

這一對定理在教科書中一般會採用柯西中值定理配合一些代數技巧來給出證明,過程比較繁瑣。所以在網上的各種微積分教學裡面基本上都會給出一個直觀的幾何解釋。

比如,3b1b 講的這個:

3b1b

然而問題就在於,這些所謂的「直觀解釋 (intuition)」,只解釋了四分之一。他們的解釋大概是基於這樣的思路:

f(x_0)=g(x_0)=0

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} &= \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)}{g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)} \\ &= \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)}{g'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)} \\ &= \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f'(x_0)+\frac{o(x-x_0)}{(x-x_0)}}{g'(x_0)+\frac{o(x-x_0)}{(x-x_0)}} \\ &= \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \end{aligned}

這樣子就首先就假定了 \frac{f(x)}{g(x)} x 趨於 x_0 時是 \frac{0}{0} 型的未定式而不能是 \frac{\infty}{\infty} 型的,而且 x_0 不可以看成無窮(如果 x_0 是無窮大,就沒法把 f(x)g(x)x_0 處展開了)。做了這樣的限定,原來的定理不就只剩下四分之一了嗎?

或許有人會想,四分之一就四分之一吧,反正不就是個解釋嗎?我們還有嚴格的證明呢,無所謂的。

不過,講道理,我們給定理尋找 intuition 的目的,相比於拿個不嚴密的解釋敷衍初學者,更重要的是能通過幾何獲得一些更接近事物本質的觀察,而不是只停留在代數技巧的層面。不過雖然我們的目的是這樣的,但往往找到的 intuition 卻很牽強附會,更別說什麼反映本質了。或者說只是一種特殊情形,就像剛才那個解釋一樣。所以現在我們就要給羅必達法則尋找一種更合適的 intuition.

要找 intuition, 首先就要把定理中涉及的變數轉化成幾何量。

定理中的變數有:

  1. \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} 是兩個函數之比的極限。
  2. \displaystyle{\lim_{x \to x_0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} 是兩個函數導函數之比的極限。

試一試,把 x 改名成 t, 把 fg 改成 yx

  1. \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} \frac{y(t)}{x(t)} 是兩個函數之比的極限。
  2. \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} \frac{y'(t)}{x'(t)} 是兩個函數導函數之比的極限。

唔.......

看出來了嗎?如果把 (f(t), g(t)) 看成平面上運動的點, (f'(t), g'(t)) 就是這個動點的速度矢量,而 \frac{g'(t)}{f'(t)} 就是這個速度矢量的斜率,或者說軌跡線的切線的斜率。而 \frac{g(x)}{f(x)} 就是向徑(以原點為起點的的位置矢量)的斜率。

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這麼看的話,羅必達法則說的就是:當時間趨於某個確定的時刻或無窮大時,如果這個點往原點跑 (\frac{g(t)}{f(t)}\to \frac{0}{0}), 或是往無窮遠跑 (\frac{g(t)}{f(t)}\to \frac{\infty}{\infty}), 而且速度的方向又趨於一個確定的方向 (\frac{g'(t)}{f'(t)}\to \mathrm{const}\;\mathrm{or}\;\pm\infty), 那麼向徑的方向 \frac{g(t)}{f(t)} 就會和速度的方向無限貼近,也趨於那個確定的方向 \mathrm{const}\;\mathrm{or}\;\pm\infty.

這個結論的成立從直覺上來看是比較 trivial 的:

時間取極限,動點的速度方向趨於某個固定方向,分兩種情況

  1. 動點的位置趨於原點——從原點來看,動點肯定是從那個固定方向靠近的
  2. 動點的位置趨於無窮遠——從原點來看,動點肯定是往那個固定方向遠去的

當然這只是單純的直覺。接下來我們來做一些有根據的討論。

先考慮這個動點往原點跑的情況。設原點為 O, 動點為 P. 因為 P 點的極限位置是 O, 所以 O 要麼在 P 點的軌跡線上,要麼是軌跡線上的一個可去間斷點。總之無論如何都可以把軌跡線看成是通過 O 的. 因此向徑的方向線(直線OP: y=\frac{g(t)}{f(t)}x)就可以看成是一條過 O 點和 P 點的割線,軌跡線的割線。根據中值定理,軌跡線割線的斜率會等於軌跡線上 O 點和 P 點之間某一點的切線的斜率 \frac{g'(\tau)}{f'(\tau)},當 P 趨近於 O 時,由於軌跡線切線的斜率(即速度的方向)同某個常數(或無窮大)無限接近,割線的斜率自然就也和那個常數(或無窮大)無限接近了,也就是說 \displaystyle{\lim_{P\to O}} \frac{g(t)}{f(t)} = \displaystyle{\lim_{P\to O}} \frac{g'(t)}{f'(t)} = \mathrm{const}\;\mathrm{or}\;\pm\infty.

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另一種情況,如果這個點不是往原點跑,而是往無窮遠處跑的話,因為軌跡線不再能保證經過 O 了,向徑的方向線(直線OP)就未必是割線了。這時候就要再多想一步。關鍵之處就是,雖然 OP 不是割線了,但是只要在軌跡線上取一個定點 P' 構造一條割線 P'P, 再把 P 拉到足夠遠,割線 P'P 就會和直線 OPP 點附近緊緊貼在一起,傾斜角、斜率也會趨於相同。為什麼呢?因為 P 跑得實在太遠了,在 P 看來,這一對定點 OP',看著只像一個重合的點。正所謂近大遠小。

現在設 P(f(t),g(t)) 向無窮遠處運動,當 P 經過 P_0(f(t_0),g(t_0)) 這個位置後,速度的方向(也就是軌跡線切線的斜率)\frac{g'(t)}{f'(t)} 與一個常數 k 可以任意接近。此時直線 P_0 P 是軌跡線的一條割線,且由中值定理,斜率同 k 也是可以任意接近的。再讓 PP_0 開始運動,它會往無窮遠處走。設 P 走過 P_1(f(t_1),g(t_1)) 點之後,P_0 POP 的斜率可以任意接近。那麼此時 OP 的斜率就也可以同 k 任意接近。對於 \frac{g'(t)}{f'(t)} 趨於無窮大的情況也可做類似討論,結論仍然成立。所以 \displaystyle{\lim_{P\to \infty}} \frac{g(t)}{f(t)} = \displaystyle{\lim_{P\to \infty}} \frac{g'(t)}{f'(t)} = \mathrm{const}\;\mathrm{or}\;\pm\infty.

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也可以想像這樣一個場景。假如你是一個站在原點的觀察者,看著平面上一輛車往無窮遠處開去。從某個時刻 t_0 開始,車幾乎就是直直往東北開的(車頭朝著東北,方向只有無窮小的擺動)。設 t_0 時車的位置在 P_0 點。因為這輛車要開往無窮遠處,所以只要從 t_0 再經過足夠的時間,車就可以離 P_0 和原點足夠遠,使得 P_0 和原點在車看來都在同一方向上。這時從車上看 P_0, P_0 是直直往西南遠去的(因為車是從 P_0 直直往東北開出的),那麼由於在車看來 P_0 和原點在同一方向上,所以原點也是直直往西南遠去的。因此從原點看來車就是直直往東北遠去的,方向不會有大的擺動,也不可能跑去不同於東北的其它方向。

再來看幾個具體的例子。

例 1 (\frac{0}{0} 型) \displaystyle{\lim_{x \to 0}} \frac{x}{\mathrm{ln}(1+x)}

P(\mathrm{ln}(1+t), t) , P 點的軌跡方程式為 y = \mathrm{e}^x-1

作圖如下,可以看到當 t 趨於 0 時,虛線(向徑的方向線)和紅箭頭(速度矢量)趨於重合。

(時間逆流了,其實無所謂,把 t 代換成 t'=\frac{1}{t} 就可以轉化成正流了)

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例 2 (\frac{0}{0} 型) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} \frac{\mathrm{ln}(1+\frac{1}{x})}{\mathrm{arccot}(x)}

P(\mathrm{arccot}(t), \mathrm{ln}(1+\frac{1}{t})) , P 點的軌跡方程式為 y = \mathrm{ln}(1+\mathrm{tan}(x))

作圖如下,可以看到當 t 趨於 +\infty 時,向徑的方向線和速度矢量趨於重合。

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例 3 (\frac{\infty}{\infty} 型) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} \frac{2x^2+x}{x^2+1}

P(t^2+1, 2t^2+t) , P 點的軌跡方程式為 y = 2(x-1) + \sqrt{(x-1)}

作圖如下,可以看到當 t 趨於 +\infty 時,向徑的方向線和速度矢量趨於重合。

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例 4 (\frac{\infty}{\infty} 型) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} \frac{\mathrm{e}^x}{x^3}

P(t^3, \mathrm{e}^t) , P 點的軌跡方程式為 y = e^{\sqrt[3]{x}}

作圖如下,可以看到當 t 趨於 +\infty 時,向徑的方向線和速度矢量趨於重合。

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注意在這個例子中,兩個極限都不存在。為什麼極限不存在,還能說這兩個極限「相等」(都發散到無窮)呢?

這是因為,從幾何上來看,速度矢量的斜率表示它的方向,而斜率等於無窮大的方向,其實也只是三百六十度各個方向中的一個,並沒有特殊性。

所以既然向徑的方向趨近於和速度矢量的方向一致,那麼當速度矢量的方向趨於 y 軸正方向時,向徑自然也就會貼近 y 軸。因此兩個比的極限就都會趨於無窮。

例 5 (\frac{\infty}{\infty} 型) (羅必達法則失效)

\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}\frac{x+\sin{x}}{x+\cos{x}}

由於 \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}\frac{x+\sin{x}}{x+\cos{x}} = \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}\frac{1+\frac{\sin{x}}{x}}{1+\frac{\cos{x}}{x}} = \frac{1}{1}

所以這個極限的值就是 1. 然而,嘗試使用羅必達法則後,得到

原極限 = \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}}\frac{1+\cos{x}}{1-\sin{x}}

由於右邊是個週期函數,極限不存在也不發散到無窮,所以等號不能成立,羅必達法則無法使用。

因此,導數之比的極限不存在,原函數之比的極限也可能存在,羅必達法則只是判斷極限的充分不必要條件。

這一點從幾何直觀上來看會更清楚。設 P(t+\cos{t}, t+\sin{t})

作圖如下,可以看到雖然速度矢量週期性擺動,方向並不收斂,但向徑的指向卻在振盪靠近直線 y=x 的方向。

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