二次方程式解的公式的幾何意義

最近 3b1b 又有了新影片「A quick trick for computing eigenvalues」, 講解了一個簡化版的二次方程式求根公式 x_{1,2} = m \pm \sqrt{m^2 - p}, 其中 m = \frac{x_1+x_2}{2}, p = x_1 x_2. 如他所講這個公式的好處是,形式簡單,並且 m (mean) 和 p (product) 都是「比較有意義」的值。但是我發現它們並不只是「比較有意義」而已——這個公式事實上是可以有幾何解釋的。

對於一般的二次方程式 x^2-2mx+p \;\; (p \neq 0, m^2 \neq p)(即 x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2 \;\; (x_1 \neq x_2 \neq 0)),我們可以用平面幾何中的 圓幂定理 來求它的解。

首先,在二維歐氏平面上畫一條實數軸,標出數軸上 0, x_1, x_2 三個點。分兩種情形討論。

第一種情形,x_1x_2 同號(即 x_1 x_2 > 0),如圖

作以 x_1, x_2 為直徑的圓,設半徑為 r. 顯然,這個圓的圓心在 \frac{x_1+x_2}{2} 的位置上。再從 0 的位置引一條這個圓的切線,交圓於點 T, 連接圓心和 T. 此時,根據 切割線定理 可知,|0T|^2 = x_1 x_2, 又因為畢氏定理有 r^2 = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 - |0T|^2, 即 r^2 = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 - x_1 x_2. 所以 x_{1,2} = \frac{x_1+x_2}{2} \pm r = \frac{x_1+x_2}{2} \pm \sqrt{(\frac{x_1+x_2}{2})^2 - x_1 x_2}, 即 x_{1,2} = m \pm \sqrt{m^2 - p}.

第二種情形,x_1x_2 異號(即 x_1 x_2 < 0),如圖

作以 x_1, x_2 為直徑的圓,設半徑為 r. 顯然,這個圓的圓心在 \frac{x_1+x_2}{2} 的位置上。過 0 的位置做一條數軸的垂線,交圓於點 T, T', 連接圓心和 T. 此時,根據 交弦定理 可知,|0T|^2 = - x_1 x_2, 又因為畢氏定理有 r^2 = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 + |0T|^2, 即 r^2 = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 + (- x_1 x_2). 所以 x_{1,2} = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 \pm r = (\frac{x_1+x_2}{2})^2 \pm \sqrt{(\frac{x_1+x_2}{2})^2 - x_1 x_2}, 即 x_{1,2} = m \pm \sqrt{m^2 - p}.

當然,以上都是先假定方程式有解作為前提。如果要更嚴密地討論,在方程式没有解的情形下,圖形中關鍵的直角三角形是無法形成的,由此應該可以導出方程式沒有解的結論。

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